Волны, зависящие от одной пространственной координаты

Анимация

Описание

В плоской волне всем точкам среды, лежащим в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, в каждый момент времени соответствуют одинаковые смещения и скорости частиц среды. Таким образом, все величины, характеризующие плоскую волну, являются функциями времени и только одной координаты, например, х , если ось Ох совпадает с направлением распространения волны.

Волновое уравнение для продольной плоской волны имеет вид:

д 2 j /дx 2 = (1/c 2 )д 2 j /дt 2 . (1)

Его общее решение выражается следующим образом:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x) , (2)

где j - потенциал или другая величина, характеризующая волновое движение среды (смещение, скорость смещения и т.д.);

с - скорость распространения волны;

f 1 и f 2 - произвольные функции, причем первое слагаемое (2) описывает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Ох , а второе - в противоположном направлении.

Волновые поверхности или геометрические места точек среды, где в данный момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, для ПВ представляют собой систему параллельных плоскостей (рис. 1).

Волновые поверхности плоской волны

Рис. 1

В однородной изотропной среде волновые поверхности плоской волны перпендикулярны к направлению распространения волны (направлению переноса энергии), называемому лучом.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -10 до 1);

Время существования (log tc от -10 до 3);

Время деградации (log td от -10 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от -3 до 1).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Техническая реализация эффекта

Строго говоря, ни одна реальная волна не является плоской волной, т.к. распространяющаяся вдоль оси x плоская волна должна охватывать всю область пространства по координатам y и z от -Ґ до +Ґ . Однако во многих случаях можно указать ограниченный по y, z участок волны, на котором она практически совпадает с плоской волной. Прежде всего это возможно в однородной изотропной среде на достаточно больших расстояниях R от источника. Так, для гармонической плоской волны фаза во всех точках плоскости, перпендикулярной направлению ее распространения, одна и та же. Можно показать, что всякую гармоническую волну можно считать плоской волной на участке шириной r << (2R l )1/2 .

Применение эффекта

Некоторые волновые технологии являются наиболее эффективными именно в приближении плоских волн. В частности, показано, что при сейсмоакустических воздействиях (с целью повышения нефте- газоотдачи) на нефтяные и газовые пласты, представленные слоистыми геологическими структурами, взаимодействие прямых и переотраженных от границ слоев плоских волновых фронтов приводит возникновению стоячих волн, инициирующих постепенные перемещение и концентрацию углеводородных флюидов в пучностях стоячей волны (см. описание ФЭ «Стоячие волны»).

> Сферические и плоские волны

Научитесь различать сферические и плоские волны . Читайте, какую волну называют плоской или сферической, источник, роль волнового фронта, характеристика.

Сферические волны возникают из точечного источника в сферическом узоре, а плоские – бесконечные параллельные плоскости, нормальные к вектору фазовой скорости.

Задача обучения

• Вычислить источники сферических и плоских волновых узоров.

Основные пункты

• Волны создают конструктивные и деструктивные помехи.
• Сферические возникают из одного точечного источника в сферической форме.
• Плоская вода – частотная, волновые фронты которой выступают бесконечными параллельными плоскостями со стабильной амплитудой.
• В реальности не выйдет получить идеальную плоскую волну, но многие приближаются к такому состоянию.

Термины

• Деструктивные помехи – волны мешают друг другу, а точки не совпадают.
• Конструктивные – волны мешают и точки расположены в идентичных фазах.
• Волновой фронт – мнимая поверхность, простирающаяся сквозь осциллирующие точки в фазе среды.

Сферические волны

Какую волну называют сферической? Разработать метод по определению способа и места распространения волн удалось Кристиану Гюйгенсу. В 1678 году он выдвинул предположение, что каждая точка, с которой сталкивается световая помеха, превращается в источник сферической волны. Суммирование вторичных волн вычисляет вид в любом времени. Этот принцип показал, что при контакте волны создают деструктивные или конструктивные помехи.

Конструктивные формируются, если волны полностью пребывают в фазе друг друга, а финальная усиливается. В деструктивных волны не соответствуют по фазам и финальная просто сокращается. Волны возникают из одного точечного источника, поэтому формируются в сферическом узоре.

Если волны генерируются из точечного источника, то выступают сферическими

Этот принцип применяет закон преломления. Каждая точка на волне создает волны, мешающие друг другу конструктивно или деструктивно

Плоские волны

Теперь давайте поймем, какую волну называют плоской. Плоская отображает частотную волну, фронты которой выступают бесконечными параллельными плоскостями со стабильной амплитудой, расположенной перпендикулярно вектору фазовой скорости. В реальности нельзя добыть истинную плоскую волну. Только плоская с бесконечной протяжностью сможет ей соответствовать. Правда, многие волны приближаются к такому состоянию. Например, антенна формирует поле, выступающее примерно плоским.

Плоские отображают бесконечное число волновых фронтов, нормальных к стороне распространения

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

Волна, у к-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства. Простейший пример - однородная монохроматич. незатухающая П. в.:

и(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

где А - амплитуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - круговая частота, Т -период колебаний, k - . Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты) j=const П. в. являются плоскостями.

При отсутствии дисперсии, когда vф и vгр одинаковы и постоянны (vгр=vф= v), существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущие П. в., к-рые допускают общее представление вида:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

где f - произвольная функция. В нелинейных средах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2), но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, так и от характера движения . В поглощающих (диссипативных) средах П. в. уменьшают свою амплитуду по мере распространения; при линейном затухании это может быть учтено путём замены в (1) k на комплексное волновое число kд ± ikм, где kм - коэфф. затухания П. в.

Однородная П. в., занимающая всё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновое , сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиями передачи или волноводами), можно представить как суперпозицию П. в. с тем или иным пространств. спектром k. При этом волна может по-прежнему иметь плоский фазовый фронт, но неоднородное амплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отдельные участки сферич. и цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазового фронта, приближённо ведут себя как П. в.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

- волна, ук-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

где А - амплитуда,- фаза,- круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. = const П. в. являются плоскостями.
При отсутствии дисперсии, когда фазоваяскорость v ф и групповая v гр одинаковы и постоянны (v гр = v ф = v ) существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущиеП. в., к-рые можно представить в общем виде

где f - произвольная ф-ция. В нелинейныхсредах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2),но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, таки от характера движения волны. В поглощающих (диссипативных) средах П. k на комплексное волновоечисло k д ik м,где k м - коэф. затухания П. в. Однородная П. в., занимающаявсё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновоеполе, сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиямипередачи или волноводами), можно представить как суперпозициюП. в. с тем или иным пространственным спектром k. При этом волнаможет no-прежнему иметь плоский фазовый фронт, во неоднородное распределениеамплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отд. участкисферич. или цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазовогофронта, приближённо ведут себя как П. в.

Лит. см. при ст. Волны.

М. А. Миллер, Л. А. Островский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Плоская волна

Фронт плоской волны представляет собой плоскость. Согласно определению фронта волны звуковые лучи пересекают его под прямым углом, поэтому в плоской волне они параллельны между собой. Так как поток энергии при этом не расходится, интенсивность звука не должна была бы уменьшаться с удалением от источника звука. Тем не менее она уменьшается из-за молекулярного затухания, вязкости среды, запыленности ее, рассеяния и т. п. потерь. Однако эти потери так малы, что с ними можно не считаться при распространении волны на небольшие расстояния. Поэтому обычно полагают, что интенсивность звука в плоской волне не зависит от расстояния до источника звука.

Поскольку, то амплитуды звукового давления и скорости колебаний тоже не зависят от этого расстояния

Выведем основные уравнения для плоской волны. Уравнение (1.8) имеет вид, так как. Частное решение волнового уравнения для плоской волны, распространяющейся в положительном направлении, имеет вид

где - амплитуда звукового давления; - угловая частота колебаний; - волновое число.

Подставляя звуковое давление в уравнение движения (1.5) и интегрируя во времени, получим скорость колебаний

где - амплитуда скорости колебаний.

Из этих выражений находим удельное акустическое сопротивление (1.10) для плоской волны:

Для нормального атмосферного давления и температуры акустическое сопротивление

Акустическое сопротивление для плоской волны определяется только скоростью звука и плотностью среды и является активным, вследствие чего давление и скорость колебаний находятся в одинаковой фазе, т. е. , поэтому интенсивность звука

где и - действующие значения звукового давления и скорости колебаний. Подставляя в это выражение (1.17), получаем наиболее часто используемое выражение для определения интенсивности звука

Сферическая волна

Фронт такой волны представляет собой сферическую поверхность, а звуковые лучи согласно определению фронта волны совпадают с радиусами сферы. В результате расхождения волн интенсивность звука убывает с удалением от источника. Так как потери энергии в среде малы, как и в случае плоской волны то при распространении волны на небольшие расстояния с ними можно не считаться. Поэтому средний поток энергии через сферическую поверхность будет тот же самый, что и через любую другую сферическую поверхность с большим радиусом, если в промежутке между ними нет источника или поглотителя энергии.

Цилиндрическая волна

Для цилиндрической волны интенсивность звука можно определить при условии, что поток энергии не расходится вдоль образующей цилиндра. Для цилиндрической волны интенсивность звука обратно пропорциональна расстоянию от оси цилиндра.

Сдвиг фаз появляется только в тех случаях, когда звуковые лучи расходятся или сходятся. В случае плоской волны звуковые лучи идут параллельно, поэтому каждый слой среды, заключенный между соседними фронтами волны, отстоящими на одинаковом расстоянии друг от друга, имеет одинаковую массу. Массы этих слоев можно представить в виде цепочки одинаковых шаров. Если толкнуть первый шар, то он дойдет до второго и сообщит ему поступательное движение, а сам остановится, затем также будет приведен в движение третий шар, а второй остановится и так далее, т. е. энергия, сообщенная первому шару, будет передаваться последовательно все дальше и дальше. Реактивная составляющая мощности звуковой волны отсутствует. Рассмотрим случай расходящейся волны, когда каждый последующий слой имеет большую массу. Масса шара будет увеличиваться с увеличением его номера, причем сначала быстро, а потом все медленнее и медленнее. Первый шар после столкновения отдает второму только часть энергии и двигается назад, второй приведет в движение третий, но затем тоже пойдет назад. Таким образом, часть энергии будет отражаться, т. е. появляется реактивная составляющая мощности, которая определяет реактивную составляющую акустического сопротивления и появление сдвига фаз между давлением и скоростью колебаний. Шары, удаленные от первого, будут передавать почти всю энергию шарам, находящимся впереди, так как их массы будут почти одинаковыми.

Если массу каждого шара взять равной массе воздуха, заключенной между фронтами волны, находящимися друг от друга на расстоянии полуволны, то чем больше длина волны, тем резче будет изменяться масса шаров по мере увеличения их номеров, тем большая часть энергии будет отражаться при столкновении шаров и тем больший будет сдвиг фаз.

Для малых длин волн массы соседних шаров отличаются незначительно, поэтому отражение энергии будет меньшим .

Основные свойства слуха

Ухо состоит из трех частей: наружного, среднего и внутреннего. Две первые части уха служат передаточным устройством для подведения звуковых колебаний к слуховому анализатору, находящемуся во внутреннем ухе - улитке. Это передаточное устройство служит рычажной системой, превращающей воздушные колебания с большой амплитудой скорости колебаний и небольшим давлением в механические колебания с малой амплитудой скорости и большим давлением. Коэффициент трансформации в среднем равен 50-60. Кроме того, передаточное устройство вносит коррекцию в частотную характеристику следующего звена восприятия - улитки.

Границы воспринимаемого слухом частотного диапазона довольно широки (20-20000 Гц). Вследствие ограниченного числа нервных окончаний, расположенных вдоль основной мембраны, человек запоминает во всем диапазоне частот не более 250 градаций частоты, причем число этих градаций резка уменьшается с уменьшением интенсивности звука и в среднем составляет около 150, т. е. соседние градации в среднем отличаются друг от друга по частоте не менее чем на 4%, что в среднем приближенно равно ширине критических полосок слуха. Введено понятие высоты звука, под которой подразумевают субъективную оценку восприятия звука по частотному диапазону. Так как ширина критической полоски слуха на средних и высоких частотах примерно пропорциональна частоте, то субъективный масштаб восприятия по частоте близок к логарифмическому закону. Поэтому за объективную единицу высоты звука, приближенно отражающей субъективное восприятие, принята октава: двукратное отношение частот (1; 2; 4; 8; 16 и т. д.). Октаву делят на части: полуоктавы и третьоктавы. Для последних стандартизован следующий ряд частот: 1; 1,25; 1,6; 2; 2,5; 3,15; 4; 5; 6,3; 8; 10, являющихся границами третьоктав. Если эти частоты расположить на равных расстояниях по оси частот, то получится логарифмический масштаб. Исходя из этого, для приближения к субъективному масштабу все частотные характеристики устройств передачи звука строят в логарифмическом масштабе. Для более точного соответствия слуховому восприятию звука по частоте для этих характеристик принят особый, субъективный масштаб - почти линейный до частоты 1000 Гц и логарифмический выше этой частоты. Введены единицы высоты звука под названием «мел» и «барк» (). В общем случае высота сложного звука не поддается точному расчету .

: такая волна в природе не существует, так как фронт плоской волны начинается в $-\backslash mathcal\{1\}$ и заканчивается в $+\backslash mathcal\{1\}$, чего, очевидно, быть не может. Кроме того, плоская волна переносила бы бесконечную мощность, и на создание плоской волны потребовалась бы бесконечная энергия. Волну со сложным (реальным) фронтом можно представить в виде спектра плоских волн с помощью преобразования Фурье по пространственным переменным.

Квазиплоская волна - волна, фронт которой близок к плоскому в ограниченной области. Если размеры области достаточно велики для рассматривамой задачи, то квазиплоскую волну можно приближённо считать плоской. Волну со сложным фронтом можно аппроксимировать набором локальных квазиплоских волн, векторы фазовых скоростей который нормальны реальному фронту в каждой его точке. Примерами источников квазиплоских электромагнитных волн являются лазер , зеркальная и линзовая антенны : распределение фазы электромагнитного поля в плоскости, параллельной апертуре (излучающему отверстию), близко к равномерному. По мере удаления от апертуры фронт волны принимает сложную форму.

Определение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения , называемого волновым . Волновое уравнение для функции $A$ записывается в виде

$\backslash Delta\; A(\backslash vec\{r\},t)\; =\; \backslash frac\; \{1\}\; \{v^2\}\; \backslash ,\; \backslash frac\; \{\backslash partial^2\; A(\backslash vec\{r\},t)\}\; \{\backslash partial\; t^2\}$ где

• $\backslash Delta$ - оператор Лапласа ;
• $A(\backslash vec\{r\},t)$ - искомая функция;
• $r$ - радиус-вектор искомой точки;
• $v$ - скорость волны;
• $t$ - время.

Одномерный случай

$\backslash Delta\; W\_k\; =\; \backslash cfrac\; \{\backslash rho\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V$ $\backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\; \{E\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; x\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; =\; \backslash cfrac\; \{\backslash rho\; v^2\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; x\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; .$

Полная энергия это

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\{\backslash rho\}\{2\}\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\{\backslash partial\; A\}\{\backslash partial\; \{x\}\}\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Плотность энергии, соответственно, равна

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; \{W\}\; \{\backslash Delta\; V\}\; =\; \backslash cfrac\{\backslash rho\}\{2\}\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; \{x\}\}\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash right)\; .$

Поляризация

Напишите отзыв о статье "Плоская волна"

Литература

• Савельев И.В. [Часть 2. Волны. Упругие волны.] // Курс общей физики / Под редакцией Гладнева Л.И., Михалина Н.А., Миртова Д.А.. - 3-е изд. - М .: Наука, 1988. - Т. 2. - С. 274-315. - 496 с. - 220 000 экз.

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Плоская волна

– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d"honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.

На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l"Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.